Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 и 11

Правила для последних цифр

На 2 делится число, оканчивающееся на 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 — число с последней цифрой 0 или 5. На 10 — число, оканчивающееся на 0. Например, 1470 делится на все три числа, а 1475 — на 5, но не на 2 и не на 10.

Для делимости на 4 достаточно проверить число из двух последних цифр: 7316 делится на 4, потому что 16 делится на 4. Причина проста: оставшаяся часть равна некоторому количеству сотен, а 100 уже делится на 4. Для делимости на 8 проверяют три последние цифры, поскольку 1000 делится на 8. У числа 52136 конец 136 = 8 × 17, значит, всё число делится на 8.

Сумма цифр для 3 и 9

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Для 9 действует такое же правило с делителем 9. У 7425 сумма цифр равна 7 + 4 + 2 + 5 = 18. Поэтому 7425 делится и на 3, и на 9. У 7422 сумма равна 15: на 3 число делится, на 9 — нет.

Почему работает сумма? При делении на 3 и на 9 числа 10, 100, 1000 и следующие степени десятки дают остаток 1. Поэтому каждый разряд вносит тот же остаток, что и его цифра. Если сумма велика, правило можно применить снова: сумма 108 даёт 1 + 0 + 8 = 9, что подтверждает делимость на 9.

Составной признак на 6 и отдельный признак на 11

На 6 число делится, когда одновременно выполняются два условия: оно чётное и сумма его цифр делится на 3. Например, 234 чётное, а сумма 2 + 3 + 4 = 9, значит, 234 делится на 6. Проверки только одного условия недостаточно: 235 нечётное, а 232 имеет сумму 7.

Для 11 найдите разность сумм цифр на чередующихся местах. У 2728 это (2 + 2) − (7 + 8) = −11. Разность делится на 11, поэтому 2728 тоже делится на 11. Нулевая разность подходит: для 121 получаем (1 + 1) − 2 = 0. Знак разности не важен. Правило связано с тем, что 10 при делении на 11 соответствует остатку −1, поэтому знаки разрядов чередуются.

Четыре задания и проверка ответов

Проверьте самостоятельно: делится ли 1548 на 4; 6312 на 8; 5076 на 9; 9185 на 11? Сначала запишите нужные цифры или суммы, затем сделайте вывод. Не пытайтесь применять сразу все признаки: вопрос уже задаёт делитель.

Ответы: 1548 делится на 4, поскольку 48 = 4 × 12. Число 6312 делится на 8, поскольку 312 = 8 × 39. Число 5076 делится на 9: сумма цифр 18. Число 9185 делится на 11: (9 + 8) − (1 + 5) = 11. Для дополнительной проверки найдите частное: 835 × 11 = 9185. Все четыре ответа подтверждаются прямым умножением.

• 1548 ÷ 4 = 387.
• 6312 ÷ 8 = 789.
• 5076 ÷ 9 = 564.
• 9185 ÷ 11 = 835.