Метод обратного хода: как решать задачи с конца

Пример с задуманным числом

Задуманное число умножили на 3, прибавили 6, а затем разделили на 2. Получилось 15. Последнее действие было делением на 2, поэтому начинаем с умножения результата: 15 × 2 = 30. Затем отменяем прибавление 6: 30 − 6 = 24. Наконец отменяем умножение на 3: 24 ÷ 3 = 8.

Проверка прямым ходом: 8 × 3 = 24, 24 + 6 = 30, 30 ÷ 2 = 15. Ответ подтверждён. Частая ошибка — начать с деления 15 на 3, потому что это действие первым встречается в тексте. Но первым отменяется именно последнее выполненное действие.

Как восстановить запас после нескольких трат

В корзине лежали яблоки. Сначала взяли половину всех яблок и ещё одно. Потом из оставшихся взяли половину и ещё одно. После этого в корзине осталось 3 яблока. Сколько было вначале? Перед вторым действием запас уменьшили по правилу: половина запаса минус 1.

Отменяем второе действие: возвращаем дополнительное яблоко, получаем 3 + 1 = 4, затем удваиваем — перед второй тратой было 8. Отменяем первую: (8 + 1) × 2 = 18. Прямая проверка: из 18 взяли 9 + 1, осталось 8; из 8 взяли 4 + 1, осталось 3. Все количества целые и неотрицательные.

Записывайте промежуточные состояния

Обозначьте состояния, а не только действия: было → после первой операции → после второй → результат. Под каждой стрелкой подпишите прямое действие. При движении назад запись не позволит перепутать, к какому запасу относится «половина» или какой сумме соответствует дополнительная единица.

Если в задаче несколько участников, последовательно восстанавливайте состояние после каждого обмена. Сохраняйте единицы измерения: вернуть 5 рублей и вернуть 5 процентов — разные операции. Обратный процент восстанавливает прежнюю базу делением на коэффициент, а не прибавлением того же процента к новому значению.

• Найдите точно известное последнее состояние.
• Отмените одну операцию и запишите восстановленный результат.
• Повторите для всех предыдущих операций.
• Проверьте ответ полной прямой цепочкой.

Когда обратный ход не даёт единственного ответа

Не каждое действие сохраняет всю информацию. Если число округлили до десятков и получили 20, исходным могло быть несколько чисел. Если возвели в квадрат и получили 9, исходными могут быть 3 и −3, если отрицательные числа разрешены. Умножение на ноль вообще стирает исходное значение.

Поэтому обратный ход иногда создаёт ветви. Выпишите все допустимые предыдущие состояния, затем примените остальные ограничения. Утверждать единственность можно лишь после их проверки. Для тренировки придумайте собственную цепочку из трёх обратимых операций и обменяйтесь задачами с другом.