Правило умножения
Если из города А в Б идут три дороги, а из Б в В — две, то маршрут через Б выбирается в два этапа. Для каждой из трёх первых дорог доступны две вторые, поэтому всего 3 × 2 = 6 маршрутов.
Рисуйте дерево: первый уровень — варианты первого шага, под каждой веткой — варианты второго. Количество конечных веток и есть ответ. Этот способ хорошо работает для кодов, одежды, меню и последовательностей действий.
Правило сложения и несовместимые случаи
Если до цели можно добраться либо двумя автобусными маршрутами, либо тремя железнодорожными, а поездка не сочетает оба вида, получается 2 + 3 = 5 способов. Складываются случаи, которые не происходят одновременно.
Иногда сначала нужно разделить задачу на случаи, внутри каждого применить умножение, а результаты сложить. Важно, чтобы один и тот же вариант не попал сразу в две группы.
Порядок важен или нет
Пара «Аня и Борис» не меняется от перестановки, а первое и второе место — меняются. Если порядок не важен, прямой перебор часто считает каждую группу несколько раз. Например, выбор двух участников как АБ и БА описывает одну команду.
Для проверки выпишите все варианты на маленьком наборе из трёх объектов. Сравните список с формулой и только потом переносите правило на большое число. Это быстрее, чем исправлять незаметное двойное считывание в конце.
Коротко о частом
Вопросы и ответы
Нужно ли учить факториалы?
Для базовых задач необязательно. Сначала освойте дерево вариантов, правила сложения и умножения, а формулы станут их компактной записью.
Как понять, что варианты независимы?
После каждого выбора должно оставаться одинаковое число возможностей следующего шага. Если оно меняется, считайте отдельные случаи.