Подстановка: проверьте каждое условие
В задаче «бита и мяч стоят 110 рублей, бита на 100 дороже» быстрый ответ 10 рублей кажется естественным. Подставьте его: тогда бита стоит 110, а общая цена получается 120. Значит, ответ не подходит. При цене мяча 5 рублей бита стоит 105, и оба ограничения выполнены: сумма 110, разность 100.
В задачах на соответствие подстановка означает восстановить всю картину: кто где сидит, кто что выбрал и какие высказывания истинны. Отмечайте каждое ограничение отдельно. Совпадение с двумя фразами из трёх ещё не подтверждает решение.
Единицы и границы: поймайте грубую ошибку
Посмотрите, в каких единицах выражен результат. Расстояние в километрах, делённое на скорость в км/ч, даёт часы. Если скорость дана в метрах в секунду, а путь в километрах, сначала приведите их к совместимым единицам. Число без единицы может скрыть ошибку масштаба в тысячу раз.
Затем оцените границы. Часть от целого при доле от 0 до 100% не превышает целое. Вероятность не выходит за диапазон от 0 до 1. При обычном движении с неотрицательными скоростями средняя скорость лежит между минимальной и максимальной скоростями на учитываемых этапах. Результат 140 км/ч при участках 60 и 90 км/ч сразу требует пересмотра.
Независимый способ и контрпример
Третья полезная привычка — проверить результат другим представлением. Если решение найдено уравнением, составьте таблицу или пересчитайте конкретный пример. Повтор того же вычисления тем же способом нередко воспроизводит ту же ошибку. В задаче о встречном движении после расчёта времени найдите путь каждого участника и сложите расстояния.
Для фразы «так бывает всегда» ищите контрпример. Утверждение «если число делится на 2 и на 4, оно делится на 8» опровергается числом 12. Одного примера достаточно, чтобы отвергнуть универсальное утверждение. Но несколько удачных примеров не доказывают, что оно верно для всех случаев.
Гарантия и минимальность требуют двух проверок
Если ответ заявлен как минимальное число попыток, проверьте обе стороны. Сначала докажите, что названного количества хватает при любом допустимом ходе событий. Затем покажите случай, в котором меньшего количества не хватает. Для пары одного цвета при трёх цветах четыре предмета дают гарантию, а три ещё могут быть всех разных цветов.
Завершайте решение короткой записью: «Ответ удовлетворяет условию, потому что…». Если объяснение не получается сформулировать, вероятно, в цепочке осталось скрытое допущение. Проверка не обязательно должна быть длинной: для простой арифметической задачи часто хватает подстановки и оценки размера.
- Все условия выполнены?
- Единицы измерения согласованы?
- Ответ находится в допустимых границах?
- Другой способ подтверждает результат?
- Если заявлена гарантия или минимальность, обе ли доказаны?
Коротко о частом
Вопросы и ответы
Нужно ли применять все пять способов к каждой задаче?
Нет. Выберите проверки, которые могут обнаружить реальную ошибку. Для числовой задачи обычно полезны подстановка и единицы, для общей закономерности — контрпример.
Подстановка доказывает единственность ответа?
Она доказывает, что конкретный ответ подходит. Чтобы доказать единственность, нужно исключить остальные допустимые варианты или вывести её из общего решения.