Чётность как первый кандидат
Если ход меняет число перевёрнутых монет на два, чётность их количества сохраняется. Из состояния с чётным числом орлов нельзя получить состояние с нечётным, сколько бы ходов ни сделать.
Иногда сохраняется не сама чётность числа объектов, а чётность суммы их позиций или количества несовпадений.
Раскраска и остатки
Шахматная раскраска помогает в задачах о покрытии доски. Домино всегда закрывает одну белую и одну чёрную клетку, поэтому доску с нарушенным балансом цветов покрыть невозможно.
Для числовых операций проверяйте остаток при делении на 2, 3 или другое небольшое число. Сложное изменение может сохранять остаток, хотя сама сумма заметно меняется.
Как искать инвариант
Выпишите, что меняется за один ход, и сравните несколько простых характеристик до и после. Ищите свойство, которое связано с целью задачи и переживает все допустимые варианты хода.
Если свойство не сохраняется, оно может меняться монотонно — только расти или только уменьшаться. Такая полуинвариантная величина тоже ограничивает достижимые состояния.
Коротко о частом
Вопросы и ответы
Инвариант всегда число?
Нет. Это может быть цвет клетки, порядок объектов, связность фигуры или другая сохраняющаяся структура.
Как понять, какой модуль выбрать?
Посмотрите, на сколько меняется сумма за ход. Делители этого изменения — первые кандидаты.